1. találat: Kavics Kupa 2023 1/m. feladat Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2023_01fm ) Hányféleképpen fedhetünk le egy 4 × 6-os asztalt 4 négyzet alakú nagy L alakú lapokkal? (A lapokat elforgathatjuk/tükrözhetjük. Két borítást akkor tekintünk különbözőnek, ha létezik 4 olyan négyzet, amelyik le van fedve az egyik borításban 1 csempével fedett, a másikban nem). Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2023_02fm ) Hányféleképpen fedhetünk le egy 4 × 8-as asztalt 4 négyzet alakú nagy L alakú lapokkal? (A lapokat elforgathatjuk/tükrözhetjük. Két borítást akkor tekintünk különbözőnek, ha létezik 4 olyan négyzet, amelyik le van fedve az egyik borításban 1 csempével fedett, a másikban nem). Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2023_03fm ) Hányféleképpen fedhetünk le egy 4 × 10-es asztalt 4 négyzet alakú nagy L alakú lapokkal? (A lapokat elforgathatjuk/tükrözhetjük. Két fedést akkor tekintünk különbözőnek, ha létezik 4 olyan négyzet, amelyet lefedünk. az egyik borításban 1 csempe van, de a másikban nem). Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2023_04fm ) Az egységkocka minden egyes élére egy síkot helyezünk, és minden ilyen sík a következőket teljesíti: Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2023_05fm ) Adott a P pont, a k kör és a P-t tartalmazó AB szekáns, úgy, hogy PA=PB=1. A P és k érintői érintik a kört a C és a D pontban. Az AB és a CD metszéspontja M. Mekkora a PM hossza? A megadni kívánt válasz a $ 10\cdot PM^2 $ alapértéke. Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2023_06fm ) Roo és Kanga egy szép háromszöget rajzolt a homokba. Roo megmérte az egyik magasságát, 9 cm volt. Kanga megmérte egy másik magasságát, az 29 cm volt. A magasságok antilopja megmérte a harmadik magasságot, az m centiméter (az m egy egész szám) volt. Mennyi a legkisebb és a legnagyobb lehetséges m értékének szorzata? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2023_07fm ) Egy kiránduló elhatározta, hogy n ($ n\ge 2 $) nap alatt m kilométert fog gyalogolni. (m egy pozitív egész szám.) Az első napon 1 kilométert és a hátralévő távolság egyhetedét, a második napon 2 kilométert és a hátralévő távolság egyhetedét, és így tovább. Végül az utolsó napon (az n-edik napon) gyalogolta le a maradék távolságot, ami pontosan n kilométer volt. Milyen hosszú volt a túra (kilométerben)? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2023_08fm ) Egy 2023 × 9100-as táblázat négyzeteibe az 1-től 2023 x 9100-ig terjedő pozitív egész számokat írtuk növekvő sorrendben sorrendben. Ezt kétszer is megtettük. Az első alkalommal balról jobbra haladva töltöttük ki a sorokat, a legfelsővel kezdve. sorral kezdtük, majd lefelé haladtunk. A második alkalommal az oszlopokat fentről lefelé töltöttük ki, a legbelső bal oldali oszloppal kezdve. majd jobbra haladva. Hány olyan négyzetre jutottunk, amibe kétszer ugyanazt a számot írtuk bele? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2023_09fm ) Hét osztálytárs 12 tantárgyból hasonlítja össze év végi jegyeit. Megállapítják, hogy bármely két tantárgyban a 12 közül van olyan, amelyben a két tanuló különböző jegyeket kapott. Lehetőség van arra, hogy válasszanak n tantárgyat a 12-ből úgy, hogy ha a hét tanuló csak ebben az n tantárgyban hasonlítja össze a jegyeit, akkor is akkor is igaz, hogy bármelyik kettőre igaz, hogy van olyan tantárgy az n-ből, ahol különböző jegyeket kaptak. Mi a legkisebb n-nek az az értéke, amelynél egy ilyen kiválasztás biztosan lehetséges? Megjegyzés: A magyar középiskolákban a diákok minden tantárgyból 1-től 5-ig terjedő egész számjegyet kapnak a végén. év végén. Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2023_10fm ) Nevezzünk egy pozitív egész számot szépnek, ha az felírható néhány (legalább két) egymást követő pozitív egész szám összegeként. Mekkora az első 11 pozitív egész szám összege, amely NEM szép? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2023_11fm ) Egy híres ember - aki a múlt században született - 1999-ben éppen annyi idős volt, mint a a születési éve számjegyeinek négyzeteinek összege. Mikor született? (Megjegyzés: ha valaki mondjuk 1929-ben született, akkor 70 éves lenne a következő évben 1999). Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2023_12fm ) Keressük meg a legkisebb pozitív egész n számot, amelynek a következő tulajdonsága van: ha felírjuk az összes pozitív egész számot 1-től $ 10^n $-ig, és minden felírt nem nulla számjegy reciprokát összeadjuk, akkor egy egész számot kapunk. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2023_13fm Hányféleképpen lehet elrendezni az 1, 2, 3, . . . . , 15-öt valamilyen sorrendben úgy, hogy bármely két szám esetén, amelyek 2 vagy 3 pozícióra vannak egymástól, a bal oldali szám a nagyobb? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2023_14fm ) Egy urnában piros és kék golyók vannak: összesen 1024. Egy fordulóban a következőket tesszük: kihúzzuk a a golyókat az urnából kettesével. Miután minden golyót kihúztunk, minden párhoz egy új golyót teszünk vissza az urnába, a kihúzott golyók helyett: az új golyó színe a kihúzott golyópár színétől függ. Két kihúzott piros golyó esetén visszatesszük egy piros golyót. Két kék golyó esetén egy kék golyót teszünk vissza. Egy piros és egy kék golyó esetén egy fekete golyót teszünk vissza. Egy piros és egy fekete golyóhoz egy piros golyót teszünk vissza. Egy kék és egy fekete golyó esetén visszatesszük a kék golyót. Végül, két fekete golyó esetén egy fekete golyót teszünk vissza. Ezután kezdődik a következő kör. Tíz kör után egyetlen golyó marad az urnában, ami piros. Mi a maximális a kék golyók száma, amelyek a legelején az urnában lehettek? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2023_15fm ) A Mikulás találgatósdit játszik Marvinnal, mielőtt átadja neki az ajándékát. Az ajándékot elrejti a 100 ajtó egyikét, amelyek 1-től 100-ig vannak számozva. Marvin rámutathat egy ajtóra, mire a Mikulás válaszol az egyik ajtóra. a következő szavak egyikével:
|
|||||
|