1. találat: Kavics Kupa 2024 1/m. feladat Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2024_01fm ) Dél-Geometriában Jancsi földet szeretne művelni. A kör alakú mező kerülete mentén véletlenszerűen kijelöl kilenc (különböző) pontot. Az első három pont által meghatározott háromszögbe ülteti majd a krumplit, a második három pont által meghatározott háromszögbe a hagymát és az utolsó három pont által meghatározott háromszögbe az ananászt. Mekkora a valószı́nűsége, hogy ez a három háromszög nem metszi egymást? A válasz a tört legegyszerűbb alakjában a számláló és nevező összege. Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2024_02fm ) A $ P (x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 $ polinom $ a_n, \ldots, a_1, a_0 $ együtthatói természetes számok, és $ P (1) = 7 $, mı́g $ P (4) = 226. $. Mennyi $ P (7) $ értéke? Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2024_03fm ) Egy háromszög egyik oldalának hossza megegyezik a köréı́rt körének sugarának kétszeresével, egy másik oldalának hossza megegyezik a beı́rt körének sugarának hatszorosával. Ha a beı́rt kör sugara 4 egység, akkor hány egység a háromszög területe? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: kk_2024_04fm ) M.4.feladat Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2024_05fm ) Egy n × n-es táblázat első oszlopába csupa 1-eseket, második oszlopába csupa 3-asokat, ..., utolsó oszlopába csupa $ \dbinom{n+1}{2} $-eseket ı́rtunk. Károly összeadta az utolsó sorban álló számokat, mı́g Lajos a főátló fölötti számokat. Mennyit kapott Lajos, ha Károly 816-ot kapott? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2024_06fm ) Egy húrnégyszög két szemközti oldalának hossza 18 és 24 egység és az átlái merőlegesek egymásra. Hány egység a húrnégyszög köré írt körének sugara? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2024_07fm ) Az alábbi $ x^4 - 18x^3 + ax^2 + 200x - 1984 $ polinom két gyökének szorzata $ -32 $. Mennyi a értéke?
Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2024_08fm ) Hány olyan $ 1 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_k \le 13 $ sorozat van, amelyben a páratlan indexű tagok páratlan, a páros indexűek páros egész számok? Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2024_09fm ) Egy háromszög oldalainak hossza három egymást követő egész szám. A legnagyobb szöge a háromszögnek kétszerese a háromszög legkisebb szögének. Mekkora a háromszög harmadik szögének koszinuszának tı́zezerszerese?
Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2024_10fm ) Legyen $ 1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_r = n $ az $ n $ szám összes pozitı́v osztója. Tudjuk, hogy $ d^2_5 + d^2_8 = d^2_9 $ . Mennyi $ d_{10} $?
|
|||||
|