1. találat: Kavics Kupa 2013 1. feladat Témakör: *Geometria (háromszög) (Azonosító: kk_2013_01f ) Legyen $P$ az $ABC$ szabályos háromszög belső pontja. $P$ merőleges vetülete a $BC, CA$ és $AB$ oldalakra rendre $A_1, B_1$ és $C_1$ . Tudjuk, hogy $AC_1=4$ , $C_1B=8$ és $BA_1=5$ . Mennyi $CB_1\cdot B_1A$ ? Témakör: *Számelmélet (számjegy) (Azonosító: kk_2013_02f ) Hány olyan 8-jegyű szám van, ami a 9-edére csökken, ha az első számjegyét töröljük? Témakör: *Logika (sorrend) (Azonosító: kk_2013_03f ) A kirabolt Mézga család Párizsban próbál pénzt szerezni. Aladár elmegy a Magyar Nagykövetségre kölcsönért. Mások is vannak ott, vele együtt $ 21$ -en állnak sorban. Mind különböző magasságúak, Aladár a harmadik legalacsonyabb. A sorban legelöl állótól kezdve felsoroljuk, hogy az egyes emberek előtt hány náluk magasabb ember áll a sorban: $ 0,\quad 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 2,\quad 3,\quad 3,\quad \ldots \quad 9,\quad 9,\quad 10.$ Aladár mögött hány nála magasabb ember áll a sorban? Témakör: *Geometria (terület, háromszög) (Azonosító: kk_2013_04f ) Az $ABC$ háromszögben $A_1$ és $B_1$ a $BC$ illetve $AC$ oldalak belső pontjai. $AA_1$ és $BB_1$ metszéspontja $M$ . Az $AMB_1$ , $AMB$ és $BMA_1$ háromszögek területe rendre 3, 7 és 7 egység. Mennyi a $CB_1MA_1$ négyszög területe? Témakör: *Számelmélet (prím) (Azonosító: kk_2013_05f ) $\prod_{k=2}^{100} \dfrac{k^3+1}{k^3-1}=\dfrac{p}{q}$ Adjuk meg $p+q$ értékét, ha $p$ és $q$ relatív prím pozítív egészek. Témakör: *Geometria (terület) (Azonosító: kk_2013_06f ) Az $A_1A_2A_3A_4$ egységnégyzet oldalain felvesszük a $B_1, B_2, B_3$ és $B_4$ pontokat úgy, hogy $B_i$ az $A_iA_{i+1}$ szakaszon legyen (ahol természetesen $A_5=A_1$ ) és $A_iB_i=\dfrac{1}{n}$ teljesüljön. Mi az a legkisebb $n$ egész, amire az $A_1B_2, A_2B_3, A_3B_4$ és $A_4B_1$ egyenesesek által meghatározott négyzet területe legalább 0.9? Témakör: *Halmazelmélet (logika) (Azonosító: kk_2013_07f ) Legfeljebb hány eleme lehet egy egész számokból álló $M$ halmaznak, ha $M$ egyik eleme sem osztható 7-tel, de bármely 4 eleme közt van néhány, melyeknek összege osztható 7-tel? Témakör: *Logika (út) (Azonosító: kk_2013_08f ) A szabályos {végtelen} háromszögrácsban rácspontról szomszédos rácspontra léphetünk, de csak a három megadott irányban. Hányféleképpen juthatunk el az $A$ pontból a $B$ pontba, ha $ 13$ -nál nem léphetünk többet? (Azokat az utakat is vegyük számításba, amelyek menet közben előbb is átmennek $B$ -n, majd visszatérnek oda.)
Témakör: *Algebra (irracionális) (Azonosító: kk_2013_09f ) Adjuk meg $\lfloor 100xy\rfloor$ értékét, ha $x$ és $y$ olyan racionális számok, amelyekre $\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}.$ Témakör: *Algebra (permutáció, rekurzív sorozat) (Azonosító: kk_2013_10f ) Az $ 1, 2, \ldots , 16$ számoknak, hány olyan $i_1, i_2, \ldots , i_k$ permutációja van, amelyben minden $ 1\leq k\leq 16$ mellett teljesül az $|i_k-k|\leq 1$ feltétel? Témakör: *Geometria (tetraéder, sík, kombinatorika) (Azonosító: kk_2013_11f ) Hány részre vágják a szabályos tetraédert azok a síkok, amelyek tartalmazzák a tetraéder egy-egy élét és átmennek a szemköztes él felezőpontján? Témakör: *Geometria (felszín, térfogat, algebra) (Azonosító: kk_2013_12f ) Egy téglatest minden éle és testátlója egész hosszúságú méterben mérve. Tudjuk, hogy a téglatestnek pontosan annyi $m^2$ a felszíne, mint ahány $m^3$ a térfogata. Határozzuk meg a testátló lehetséges legnagyobb hosszát. Témakör: *Algebra (algebrai szám, test) (Azonosító: kk_2013_13f ) Legyen $a=1+\sqrt{5}$ . Mennyi $S=(4-a)\cdot\sqrt{2+a}\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{3a+4}$ Témakör: *Geometria (algebra, hossz) (Azonosító: kk_2013_14f ) Mézga Aladár egyik űrutazásán laposföldjén járt. Itt látta, ahogy egy honpolgár egy egyenlő szárú derékszögű háromszög alakú bútort tolt át egy derékszögű sarkon az alábbi ábra szerint. Mekkora utat járt be eközben a derékszögű csúcs, ha az átfogó hossza 2 méter? Adjuk meg a megtett utat (tehát nem az elmozdulást és nem is a pályagörbe hosszát) centiméterben!
Témakör: *Kombinatorika (sokszög, négyszög, konvex) (Azonosító: kk_2013_15f ) Egy konvex $ 24$ -szög csúcsai közül hányféleképpen lehet kiválasztani négyet úgy, hogy az általuk meghatározott konvex négyszög oldalai a $ 24$ -szög {\em átlói} legyenek? Témakör: *Kombinatorika (játék, elemzés) (Azonosító: kk_2013_16f ) Adott $n$ lefordított pohár sorban az asztalon, ezek alatt golyók lehetnek. Meg akarjuk állapítani, hogy van-e két szomszédos pohár alatt golyó. Ehhez egyesével fordíthatunk fel poharakat. Ezt a feladatot nehéznek nevezzük, ha bármilyen jó stratégiát is választunk, lehetséges, hogy minden poharat fel kell fordítanunk, hogy megtudjuk a választ. Az $n=1,2,\dots 2013$ értékek közül hánynál nehéz a feladat? Témakör: *Számelmélet (oszthatóság, maradék) (Azonosító: kk_2013_17f ) Melyik $n<10000$ -re van a legtöbb olyan $k$ pozitív egész, hogy $n$ -et $ 2k+1$ -gyel osztva $k$ lesz a maradék? Adjuk meg $n$ értékét! Témakör: *Geometria (algebra, egyenlőtlenség) (Azonosító: kk_2013_18f ) Aladár egy $ 100$ szakaszból álló töröttvonalon jut el az eredetileg tőle $ 900$ m-re levő $B$ ponthoz úgy, hogy minden pillanatban közelebb és közelebb kerül $B$ -hez. Legfeljebb milyen hosszú lehet az útja (méterben)? Témakör: *Kombinatorika (számegyenes) (Azonosító: kk_2013_19f ) Az 1,2,3, ..., 8 számokat véletlenszerűen párokba rendeztük. A számegyenesen összekötjük a párok tagjait, így 4 szakaszt kapunk. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek közt lesz olyan, ami az összes többit metszi? Adjuk meg a kapott valószínűség $ 2310$ -szeresének egész részét! Témakör: *Valószínúségszámítás (játék) (Azonosító: kk_2013_20f ) Aladár, Béla és Cili játszanak. Aladárnak $ 15$ , Bélának $ 17$ , Cilinek $ 20$ dollárja van. Egy menetben véletlenszerűen kiválasztanak két olyan játékost, akinek még van pénze és azok egymással játszanak. $ 50-50\%$ , hogy egyikük illetve másikuk nyer. A vesztes $ 1$ dollárt ad a győztesnek. Akinek elfogy a pénze, ez kiesik. Addig tart a játék, amíg egyikük elnyeri az összes pénzt. Átlagosan hány menetből áll a játék?
|
|||||
|