Interaktív geometriai feladatgyűjtemény
Nyitólap Elérhetőségek

Menü
Szerkesztési feladatok
Területátalakítások
Szabályos sokszögek
Pitagorasz tétele
Tengelyes tükrözés
Középpontos tükrözés
Forgatás
Eltolás
Szélsőérték-feladatok
(Markó Gábor munkája)


Ebben a feladatban a sík szabályos sokszögekkel való kitöltésével kapcsolatos eredményeinket foglaljuk össze.

A sík sokszögekkel való parkettázása (lefedése) alatt olyan kitöltést értünk, amelyre a következő feltételek teljesülnek:

  • hézagmentes (a sík minden pontja lefedésre kerül legalább egy sokszöggel)
  • átfedés nélküli (a lefedésben résztvevő sokszögek belső pontjai pontosan egy sokszöggel vannak lefedve)
  • a csomópontok nem lehetnek a kitöltést alkotó sokszögek oldalain belső pontok

Szabályos parketták

A sík fenti feltételeknek megfelelő kitöltését szabályosnak nevezzük, ha a lefedésben résztvevő sokszögek egymással egybevágó szabályos sokszögek. Ezeket a kitöltéseket ebben a feladatban kerestük. Összesen 3 szabályos parketta létezik, ezek háromszögekből, négyzetekből vagy hatszögekből építkeznek.

Az animáció indítása Az animáció indítása Az animáció indítása


Félig szabályos (Archimédeszi) parketták

Ezek olyan parketták, amelyek legalább kétféle szabályos sokszöget használnak, és minden csomópontnál az ugyanolyan oldalszámú szabályos sokszögekből mindig ugyanannyi van, és azok ugyanabban a sorrendben követik egymást. A félig szabályos parkettákat leírhatjuk a csomópontban találkozó sokszögek oldalainak számával: pl. a (4, 6, 12) jelölés olyan parkettát takar, amelyben minden csomópontnál egy szabályos négyszög, egy szabályos hatszög valamint egy szabályos 12-szög találkozik.

Megmutattuk, hogy egy ilyen parkettában minden csúcsnál 3, 4 vagy 5 sokszög találkozik.

Összesen 3 olyan félig szabályos síkkitöltés létezik, amelyben a csomópontoknál 3 sokszög találkozik; ezek rendre a (3, 12, 12), a (4, 6, 12) illetve a (4, 8, 8) parketták. Ezeket ebben a feladatban vizsgáltuk.

 

Az animáció indítása Az animáció indítása Az animáció indítása

Összesen 2 olyan félig szabályos síkkitöltés létezik, amelyben a csomópontoknál 4 sokszög találkozik; ezek a (3, 4, 4, 6), illetve a (3, 3, 6, 6) parketták. Az ilyen síklefedéseket ebben a feladatban elemeztük.

 

Az animáció indítása Az animáció indítása

Azokból a parkettákból, amelyek 5 sokszöget tartalmaznak minden csomópontnál, összesen 3-at találtunk; ezek a (3, 3, 3, 3, 6), illetve a (3, 3, 3, 4, 4) parketták, az utóbbiból két különböző létezik. Az ilyen parkettákat ebben a feladatban vizsgáltuk.

 

Az animáció indítása Az animáció indítása Az animáció indítása

Összességében tehát 8 különböző félig szabályos síkkitöltés létezik.

Homogén parketták

Azokat a síkkitöltéseket, amelyek

  • csak szabályos sokszögekből építkeznek
  • bármely csomópontnál az ugyanolyan oldalszámú szabályos sokszögekből mindig ugyanannyi van

homogénnek nevezzük.

A szabályos és a félig szabályos parketták mind homogének, de rajtuk kívül további síkkitöltéseket is találunk. Az alábbi animáció egy ilyen homogén parkettát mutat be. A parketta (3, 4, 4, 6) típusú síkkitöltés. Az A és C csúcsoknál azonban a sokszögek nem ugyanabban a sorrendben követik egymást (C-nél a két négyzet oldal mentén, A-nál pedig csúcsok mentén érintkezik), ezért ez a síkkitöltés nem félig szabályos.

Az animáció indítása