Az $x$ változó, mely értékeire teljesül az

egyenlőtlenség?

Egyszerűbb alakra hozzuk az egyenlőtlenséget. Elegendő az 1-gyel kisebbített

egyenlőtlenséget igazolnunk, mert ehhez 1-et adva visszanyerjük az eredetit. Ábrázoljuk a két oldalon lévő függvényt grafikusan. A baloldalinak 2-nél, a jobboldalinak 0-nál szakadása van. E helyeken kívül csak ott válhatik az egyik a másiknál kisebből nagyobbá, ahol közben egyenlők lesznek. Mivel ez csak $x=3$-nál következik be, az ábra mutatja, hogy közt és 3-nál nagyobb $x$-ekre teljesül.

2. Megoldás

A (2) egyenlőtlenségről azonnal látjuk, hogy teljesül, ha $ 0<x<2$, mert ekkor a baloldal negatív, a jobb viszont pozitív. Ha $x$ negatív, vagy 2-nél nagyobb, akkor a két oldal egyező előjelű s így reciprokaik között az ellentétes egyenlőtlenségnek kell fennállnia:

A feltételnek tehát a 0 és 2 közti és a 3-nál nagyobb számok tesznek eleget, s így az (1) egyenlőtlenségnek is.

3. Megoldás

Áttekinthetőbbé válik a feladat, ha úgy alakítjuk, hogy egy függvényről azt kelljen eldönteni, mely $x$ értékekre pozitív az értéke. A baloldalt levonva az egyenlőtlenségből

Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező egyező előjelű, tehát a) ha $x-3>0$ és $x-2>0$. Utóbbi mindig teljesül, ha az előbbi teljesül, tehát minden 3-nál nagyobb szám megfelel a feltételnek. b) ha $s-3<0$ és $x\left( {x-2} \right)<0$, azaz a második egyenlőtlenségben szereplő két tényező ellenkező előjelű. Kell tehát, hogy $x$ nulla és kettő között legyen, s az ilyen $x$-ek az első egyenlőtlenséget is kielégítik. A feltételnek tehát a $ 0>x>2$ és $x>3$ feltételeket kielégítő számok felelnek meg.