Az $a$, $b$, $c$, $d$ számok milyen értékei mellett van megoldása, és hányféle megoldása van az

egyenletrendszernek?

Összeadva egyrészt az első és harmadik, másrészt a mások és negyedik egyenletet az $x+y+z+u=a+c,\quad \quad $és${\kern 1pt}\quad y+z+u+x=b+d$ összefüggéshez jutunk. Ez csak akkor nem jelent ellentmondást, ha $a+c=b+d$. Ez tehát a megoldhatóság feltétele. Ha ez teljesül, akkor bármely három egyenletből következik már a negyedik. Így elég három egyenlet megoldását keresni. Ilyen esetben egy változót tetszés szerint választva a többi általában egyértelműen kiszámítható. Esetünkben ez mindig így van. Válasszuk pl. $u$-t tetszés szerint. Ekkor a harmadik, második és első egyenletből sorra $z=c-u$, $y=b-c+u$, $x=a-b+c-u \quad \left( {=d-u} \right)$ adódik. Ez esetben tehát az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

Megjegyzés. Ha pl. az összes konstansok pozitívok, akkor a feltétel éppen azt fejezi ki, hogy ha a, b, c, d hosszúságú pálcákból (ebben a sorrendben) négyszöget rakunk össze, úgy, hogy a pálcák az összeillesztési pontok körül egymáshoz képest elforgathatók legyenek, akkor e négyszög minden állásában, ha konvex, akkor érintő négyszög. Az egyenletek ez esetben a csúcsoktól az érintési pontokig terjedő szakaszokat szolgáltatják. Ezek a különböző négyszögállásoknál változnak. Így ez a meggondolás is mutatja, hogy végtelen sok gyök van.