Vegyes feladatok: VF_000027
(Feladat azonosítója: VF_000027 )
Témakör: *Számelmélet (szám, soztó)

Két szám összege 173717. A két szám 4-jegyű különbségének törzstényezői között nincsen egyjegyű szám. Az egyik szám osztható 1558-cal. Melyik ez a két szám?

Az egyik szám nyilván annyival kisebb az összeg felénél, amennyivel a másik az összeg felénél nagyobb. Mivel a két szám különbsége kisseb, mint 10000, ezért a keresett számok, ha $\frac{193177}{2}=86858,5$ helyébe $m$-et írunk, $m-5000$ és $m+5000$, vagyis 81859 és 91859 között vannak. Keressük az első 1558-cal osztható számot a természetes számok sorában 81858 után. Mivel

$ 52<\frac{81858}{1558}
azért

2. Megoldás

Az összeg és az egyik szám minden közös osztója osztja a másik számot is, és így osztója a két szám különbségének. Tehát $\left( {173717,\;1558} \right)=779=19\cdot 41^{\ast }$"> Ilyenkor a zárójel jelenti a zárójelbe foglalt, vesszővel elválasztott számok legnagyobb közös osztóját.} a két szám különbségének is osztója. Tehát a különbség $ 19\cdot 41\cdot k$ alakú, ahol $k$ nem tartalmazhat egyjegyű törzstényezőt. Mivel a feladat szerint $ 1000\le 19\cdot 41\cdot k\le 9999$, azért

$ \frac{1000}{779}\le k\le \frac{9999}{772}=12,..., $

vagyis

$ 2\le k\le 12. $

Tehát feltételünknek csak a $k=11$ érték felel meg, és így a különbség$ 779\cdot 11=8569.$ Ha a keresett két számot $x$ és $y$-nal jelöljük, akkor

$ \begin{array}{c} x+y=173717, \\ x-y=8569, \\ \end{array} $

amiből

$ x=91143\left( {=3\cdot 13\cdot 19\cdot 41} \right) $

$ y=82574\left( {=2\cdot 19\cdot 41\cdot 53} \right) $