Bizonyítsuk be, hogy ha
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}, $
és n pozitív páratlan szám, akkor
$ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}. $
Vigyük át az első egyenlet baloldaláról az utolsó tagot a jobboldalra:
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}, $
$ \frac{a+b}{ab}=\frac{-\left( {a+b} \right)}{c\left( {a+b+c} \right)}. $
Redukáljuk az egyenletet 0-ra és emeljük ki $\left( {a+b} \right)$-t:
$ \left( {a+b} \right)\left( {\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left( {a+b+c} \right)}} \right)=\frac{\left( {a+b} \right)\left[ {ab+\left( {a+b} \right)c+c^2} \right]}{abc\left( {a+b+c} \right)}= $
$ =\frac{\left( {a+b} \right)\left( {a+c} \right)\left( {b+c} \right)}{abc\left( {a+b+c} \right)}=0. $
Ez csak úgy lehet 0, ha a számláló 0. Teljesen hasonlóan a második egyenlet
$ \frac{\left( {a^n+n^n} \right)\left( {b^n+c^n} \right)\left( {c^n+a^n} \right)}{a^nb^nc^n\left( {a^n+b^n+c^n} \right)}=0 $
alakba írható. Mivel páratlan pozitív egész $n$-re
$ u^n+v^n=\left( {u+v} \right)\left( {u^{n-1}-u^{n-2}v+\ldots -uv^{n-2}+v^{n-1}} \right), $
azért a számláló osztható az
$ \left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right) $
szorzattal, így a második egyenlőség is teesül, ha az első teljesül.
2. Megoldás
Az első egyenlet átalakítva
$ \frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}, $
vagyis
$ \left( {a+b+c} \right)\left( {ab+bc+ca} \right)=abc. $
Írjunk fel egy olyan egyenletet, melynek gyökei $a, b$ és $c$:
$ 0=\left( {x-a} \right)\left( {x-b} \right)\left( {x-c} \right)=x^3-\left( {a+b+c} \right)x^2+\left( {ab+bc+ca} \right)x-abc= $
$ =x^3-\left( {a+b+c} \right)x^2+\left( {ab+bc+ca} \right)x-\left( {a+b+c} \right)\left( {ab+bc+ca} \right)= $
$ =x^3\left[ {x-a\left( {a+b+c} \right)} \right]+\left( {ab+bc+ca} \right)\left[ {x-\left( {a+b+c} \right)} \right]= $
$ =\left[ {x-\left( {a+b+c} \right)} \right]\left[ {x^2+\left( {ab+bc+ca} \right)} \right]. $
Az első alakról látható, hogy ez csak akkor teljesülhet, ha $x$ megegyezik $a, b, c$ valamelyikével, az utolsóból viszont következik, hogy a kifejezés eltűnik, ha $x=a+b+c$, tehát utóbbinak meg kell egyeznie az előbbiek valamelyikével pl.
$ a+b+c=a,\quad \quad c=-b, $
s így páratlan egész $n$-re
$ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}-\frac{1}{b^n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^n+b^n+\left( {-b} \right)^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n} $
is teljesül.