Vegyes feladatok: VF_000024
(Feladat azonosítója: VF_000024 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Bizonyítsuk be, hogy ha

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c},

és n pozitív páratlan szám, akkor

\frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + c^{n}} .

Vigyük át az első egyenlet baloldaláról az utolsó tagot a jobboldalra:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + = \frac{1}{a + b + c} - \frac{1}{c},

\frac{a + b}{a b} = \frac{- (a + b)}{c (a + b + c)} .

Redukáljuk az egyenletet 0-ra és emeljük ki $(a + b)$ -t:

(a + b) (\frac{1}{a b} + \frac{1}{c (a + b + c)}) = \frac{(a + b) [a b + (a + b) c + c^{2}]}{a b c (a + b + c)} =

= \frac{(a + b) (a + c) (b + c)}{a b c (a + b + c)} = 0.

Ez csak úgy lehet 0, ha a számláló 0. Teljesen hasonlóan a második egyenlet

\frac{(a^{n} + n^{n}) (b^{n} + c^{n}) (c^{n} + a^{n})}{a^{n} b^{n} c^{n} (a^{n} + b^{n} + c^{n})} = 0

alakba írható. Mivel páratlan pozitív egész $n$ -re

u^{n} + v^{n} = (u + v) (u^{n - 1} - u^{n - 2} v + \dots - u v^{n - 2} + v^{n - 1}),

azért a számláló osztható az

(a + b) (b + c) (c + a)

szorzattal, így a második egyenlőség is teesül, ha az első teljesül.

2. Megoldás

Az első egyenlet átalakítva

\frac{a b + b c + c a}{a b c} = \frac{1}{a + b + c},

vagyis

(a + b + c) (a b + b c + c a) = a b c .

Írjunk fel egy olyan egyenletet, melynek gyökei $a, b$ és $c$ :

0 = (x - a) (x - b) (x - c) = x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x - a b c =

= x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x - (a + b + c) (a b + b c + c a) =

= x^{3} [x - a (a + b + c)] + (a b + b c + c a) [x - (a + b + c)] =

= [x - (a + b + c)] [x^{2} + (a b + b c + c a)] .

Az első alakról látható, hogy ez csak akkor teljesülhet, ha $x$ megegyezik $a, b, c$ valamelyikével, az utolsóból viszont következik, hogy a kifejezés eltűnik, ha $x = a + b + c$ , tehát utóbbinak meg kell egyeznie az előbbiek valamelyikével pl.

a + b + c = a, c = - b,

s így páratlan egész $n$ -re

\frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} - \frac{1}{b^{n}} = \frac{1}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + {(- b)}^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + c^{n}}

is teljesül.