Vegyes feladatok: VF_000022
(Feladat azonosítója: VF_000022 )
Témakör: *Algebra (számelmélet)

Meghatározandó az x, y, z, u, v számjegyek értéke úgy, hogy a tízes számrendszerben felírt $x$ 61$y$ 064zuv szám osztható legyen 61875-tel.


 

Bontsuk törzstényezőkre az osztót:

$ 61875=3^2\cdot 5^4\cdot 11=9\cdot 11\cdot 625. $

Mivel itt az egyes tényezők páronként relatív prímek, azért ahhoz, hogy a keresett szám e szorzattal osztható legyen szükséges és egyben elegendő is, hogy az egyes tényezők külön maradék nélkül meg legyenek benne. 625-tel azok és csak azok a számok oszthatók, amelyeknek utolsó 4 jegyéből álló szám is osztható 625-tel. (L. K.M.L. 1953. márciusi számában a 88. oldalon a 70. sz. gyakorlatot.) 625-nek 4000 és 4999 közt csak egy többszöröse van: $ 7\cdot 625=4375,$ tehát $ 4zuv=4375$. 9-cel osztva minden szám ugyanazt a maradékot adja, mint a számjegyeinek összege, tehát kell, hogy

$ x+6+1+y+0+6+4+3+7+5=x+y+32=9m. $

11-gyel osztva minden szám ugyanannyi maradékot ad, mint az a szám, amelyet kapunk, ha az egyesektől kezdve, minden második számjegyet összeadunk, és ebből az összegből levonjuk a kihagyott számjegyek összegét (L. K.M.L. 1953. márciusi számában a 81. oldalon a 475. sz. feladatot.) Jelen esetben

$ \left( {5+3+6+y+6} \right)-\left( {7+4+0+1+x} \right)=\left( {20+y} \right)-\left( {12+x} \right)=8+y-x=11n. $

Tehát $x+y=9m-32$ és $-x+y=11n-8.$ Itt $x$ és $y$ egyjegyű számok, tehát

$ 0\le x+y\le 18, \quad -9\le -x+y\le 9, $

és így $m=4$ vagy 5, $n=0$ vagy 1. Mivel pedig két egész szám összege és különbsége közül nem lehet az egyik páratlan, a másik páros, így $m=4,\;n=0$ vagy $m=5,\;n=1$ felelhet meg. Első esetben $y$-ra negatív szám adódnék, tehát csak $x+y=13$ és $-x+y=3$ lehetséges, ahonnan $x=5$ és $y=8$. A keresett szám tehát

5618064375,

és ennek valóban oszthatónak kell lennie 61875-tel, mert az utolsó 3 jegy választása folytán osztható 625-tel, $x$ és $y$ megválasztása folytán pedig osztható 9-cel és 11-gyel.

 

2. Megoldás

Ha a szám osztható 61875-tel, akkor pl. a 16-szorosa osztható $ 16\cdot 61875=990000$-rel, tehát minden esetre négy 0-val végződik. A kérdéses szám utolsó négy számjegye $ 4\cdot 16=64$ folytán megegyezik a

$ 4000+16\cdot zuv $

szám utolsó négy jegyével. Mivel $ 16\cdot zuv<16000$, tehát csak úgy kaphatunk négy 0-ra végződő számot, ha $ 16\cdot zuv=6000,$ vagyis $zuv=375.$ A keresett szám 16-szorosának ezenkívül még 99-cel kell oszthatónak lennie. Mivel 16 és 99 relatív prímek, ez csak akkor következik be, ha az eredeti szám is osztható 99-cel. 99-re viszont egyszerű oszthatósági szabály található. (L. K.M.L. 1953. áprilisi számában a 118. oldalon a 74. sz. gyakorlatot.) Mivel

$ 100=99+1, \quad 10000=99\cdot 101+1, \quad 1000000=99\cdot 10101+1, $
$ 100000000=99\cdot 1010101+1,\quad ... $

ezért a keresett szám ugyanannyi maradékot ad 99-cel osztva, mint a következő kétjegyű számok összege:

$ x6+1y+06+43+75=xy+140. $

Ez a szám 140-nél nagyobb, 240-nél kisebb, tehát csak úgy lehet 99-cel osztható, ha $ 2\cdot 99=198$-cal egyenlő, mely esetben $xy=58,$ tehát $x=5, \quad y=8,$ és így a keresett szám

5618064375,

és ez valóban osztható 61875-tel, mert osztható 99-cel tehát a 16-szorosa is osztható vele, és a 16-szorosa ezenkívül négy 0-val végződik. Tehát 990000-rel osztható a szám 16-szorosa és így az eredeti mindenesetre osztható ennek 16-odával, 61875-tel.