Bizonyítandó, hogy trapézba akkor és csak akkor írható az oldalakat érintő kör, ha a szárak, mint átmérők fölé írt körök érintkeznek.

a) Tegyük fel, hogy a szárak fölé rajzolt körök érintkeznek. (1. ábra). Ekkor a körök centrálisának hossza a sugarak összege, vagyis a szárak összegének a fele. Másrészt viszont a centrális éppen a trapéz középvonala, tehát hossza a párhuzamos oldalak összhosszának a fele. A feltételnek megfelelő trapézban tehát a szemközti oldalpárok összhossza megegyezik és tudjuk, hogy ha ez egy konvex négyszögre teljesül, akkor abba az oldalakat érintő kör írható. Tehát a feltétel elégséges.

b) Ha a trapézba az oldalakat érintő kör írható, akkor tudjuk, hogy a szemközti oldalpárok összege megegyezik s így a középvonal, melynek hossza a párhuzamos oldalak számtani közepe, egyben a szárak felének összegével is egyenlő, s így a szárak mint átmérők fölé rajzolt körök közös pontban metszik a centrálisát. De ha két körnek a centrálisukon van közös pontja, akkor e pontban érintkeznek. Tehát a feltétel szükséges is. Ezzel igazoltuk a bizonyítandó állítást.

2. Megoldás

Tetszés szerinti ABCD trapéz $\left( {BC\left\| {AD} \right.} \right)$ AB szára fölé rajzoljunk félkört. Messe ez a középvonalat $E$-ben. Ekkor $E$-n mennek át az $A$ és $B$ csúcsból húzott szögfelezők. Valóban, a félkör középpontját $O$-val jelölve $AOE\Delta $ egyenlőszárú s így $OAE\angle =OEA\angle $, mivel pedig a középvonal párhuzamos a párhuzamos oldalakkal, így $OEA\angle =EAD\angle $, tehát AE felezi az $A$-nál lévő szöget. Hasonlóan látható, hogy BE is szögfelező.

A trapézba akkor és csakis akkor írható kör, ha a négy szögfelező egy ponton megy keresztül, tehát akkor és csakis akkor, ha a szárak fölé rajzolt köröknek közös pontja van a középvonalon, tehát ha e körök érintkeznek. Egyben azt is nyertük, hogy a körök érintkezési pontja a beírt kör középpontját adja.
Megjegyzés A versenyzők legnagyobb része csak a feladat egyik felét bizonyította be, mert nem volt tisztában azzal, hogy az ,,akkor és csakis akkor'' azt jelenti, hogy be kell bizonyítani egyrészt, hogy a feltétel elégséges (,,akkor'') és másrészt, hogy a feltétel egyszersmind szükséges is (,,csakis akkor''), vagyis azt, hogy a tétel megfordítható. Hogy ez nincs mindig így -- tehát bizonyításra szorul -- ezt a következő két igen egyszerű példa világítja meg. ,,Ha egy szám 5-re végződik, akkor osztható 5-tel. Itt az ,,akkor'' nem toldható meg ,,csakis akkor''-ral, mert az 5-re végződés elégséges feltétel ugyan, de nem szükséges, hiszen 0-ra végződő számok is oszthatók 5-tel. Viszont a következő állításban: ,,Egy szám csakis akkor osztható 6-tal, ha páros,,, nem írhatunk a ,,csakis akkor'' elé ,,akkor''-t, mert a szám páros volta ugyan szükséges feltétel, de nem elégséges, mert hiszen sok páros szám nem osztható 6-tal. Tehát a fenti két állítás egyike sem fordítható meg. (Ugyanis nem mondhatjuk: ,,Az 5-re végződő számok oszthatóak 5-tel és fordítva, ha egy-egy szám osztható 5-tel, akkor 5-re végződik.'' Hasonlóképpen hamis: ,,Minden 6-tal osztható szám páros és fordítva, minden páros szám osztható 6-tal.'')