Vegyes feladatok: VF_000020
(Feladat azonosítója: VF_000020 )
Témakör: *Algebra (számelmélet, oszthatóság)

Melyik az a legkisebb 4-gyel végződő természetes szám, melynek utolsó jegyét a szám elé írva, az eredeti szám négyszeresét kapjuk?

Jelöljük a keresett szám ismeretlen számjegyeit $x_1 ,\;x_{2,} \;\ldots ,\;x_n $-nel. Ekkor a feladat olyan szám keresését kívánja, melyre

$ 4\cdot x_1 x_2 \ldots x_n 4=4x_1 x_2 \ldots x_n . $

Itt az egymásutáni betűk egy szám 10-es számrendszerbeli alakjának számjegyeit jelentik, a szorzás jelét mindig kiírjuk. A baloldal utolsó jegyét beszorozva 4-gyel $\left( {4\cdot 4=16} \right)$ adódik, hogy $x_n =6$; ezt a baloldalon beírva folytathatjuk a szorzást és kapjuk, hogy $ 4\cdot 6=24$, $ 24+1=25$ és így $x_{n-1} =5$. Hasonlóan folytatva tovább sorra a 2, 0, 1 jegyeket kapjuk, utóbbit 4-gyel szorozva 4-et kapunk, és nem marad továbbviendő egység, így kapjuk, hogy

$ 4\cdot 102564=410256. $

Nem kell az eljárást a 4-es jegynél befejezni, ekkor olyan számokhoz jutunk, melyek az 102564 szám egy sorozat többszöri megismétlésével keletkeznek. Ezek mind rendelkeznek a kívánt tulajdonsággal és az eljárásból belátható, hogy csak ezek a számok felelnek meg. Lényegében ugyanígy adódik az eredmény akkor is, ha a jobboldali szám osztása révén határozzuk meg sorra a számjegyeket $x_1 $-től kezdve.

2. Megoldás

Legyen a 4-es előtti jegyekből álló szám $x$ és legyen $n$ jegyű. Ekkor az adott szám $ 10x+4$. A 4-es előre téve $ 4\cdot 10^n$-t fog jelenteni s ezt a számot követi az $x$ szám. Így a feladat olyan $x$ és $n$ természetes számok keresését kívánja, amelyekre

$ 4\left( {10x+4} \right)=4\cdot 10^n+x,\quad \quad 39x=4\left( {10^n-4} \right). $

A feladat tehát olyan $n$ egész szám keresését kívánja melyre $ 4\left( {10^n-4} \right)$ osztható $ 39=3\cdot 13$-mal. Mivel

$ 10^n-4=\left( {10^n-1} \right)-3=99\ldots 9-3 $

osztható 3-mal, így csak a 13-mal való oszthatóságot kell biztosítani, és mivel 4 relatív prím a 13-hoz, így csak $ 10^n-4$ lehet 13-mal osztható. $ 10-4$ és $ 10^2-4$nem osztható vele, tehát $n>2$. Ez esetben

$ 10^n-4=100\cdot 10^{n-2}-4=4\cdot \left( {25\cdot 10^{n-2}-1} \right)=4\left[ {26\cdot 10^{n-2}-\left( {10^{n-2}+1} \right)} \right]. $

Itt a 4 relatív prim a 13-hoz, 26 osztható vele, tehát a $ 10^{n-2}+1$ -nek kell 13-mal oszthatónak lennie. Tudjuk, hogy 1001 osztható 13-mal, így $n-2=3$, $n=5$ a legkisebb kitevő, amelyik megfelel a feltételnek.

$ x=\frac{4\cdot \left( 10^5-1 \right.)}{39}=10256, $

a keresett szám tehát 102564.

Megjegyzés: 1. A $ 10^m+1$ kifejezés ($n-2$ helyett $m$-et írtunk) mindig osztható 13-mal, ha $m$ a 3-nak páratlan többszöröse, mert ha $m=3\left( {2k+1} \right)$, akkor

$ \begin{array}{c} 10^m+1=\left( {10^3} \right)^{2k+1}+1= \\ \\ \end{array} $

és $ 10^3+1=7\cdot 11\cdot 13$. Ha viszont $m=3\left( {2k+1} \right)+r$, $r=1,\;2,\;3,\;4$ vagy 5, akkor

$ 10^m+1=\left( {10^{3\left( {2k+1} \right)+r}+10^r} \right)-\left( {10^r-1} \right)=10^r\left( {10^{3\left( {2k+1} \right)}+1} \right)-\left( {10^r-1} \right). $

$ =\left( {10^3+1} \right)\left( {10^{3\cdot 2k}-10^{3\left( {2k-1} \right)}+10^{3\left( {2k-2} \right)}+\ldots +-10^3+1} \right) $

Itt az első tag osztható 13-mal, a második viszont nem, mert 9, $ 99=9\cdot 11$, $ 999=9\cdot 111=9\cdot 3\cdot 37$, $ 9999=9\cdot 1001+990$ és $ 99999=99\cdot 1001+900$; és itt egyik tényező sem osztható 13-mal, ill., az első tag osztható vele, a második azonban nem, tehát ($m=n-2$-t visszaírva) a felírt egyenlet összes megoldásai

$ x=\frac{4\left( {10^{6k+5}-4} \right)}{39},\quad \quad \quad k=0,\;1,\;2,\;\ldots . $

Könnyen látható, hogy ezek éppen az előző megoldásban említett alakú számok. 2. Kérdés, nem csak véletlen-e, hogy találtunk a feltételnek megfelelő számot. Erre csak azt jegyezzük meg, hogy az utolsó feladatnak sincs mindig megoldása. Fermat egy nevezetes számelméleti tételéből, illetőleg annak Eulertől származó általánosításából következik, hogy olyan $m$ kitevő minden $a$ egész számhoz van, amelyre $ 10^m-1$ osztható $a$-val, ha $a$ páratlan és nem osztható 5-tel; ezzel szemben pl. 3-mal nem lehet osztható, mert $ 10^m+1=\left( {10^m-1} \right)+2$, ami 3-mal osztva 2-t ad maradékul, mert az első tag osztható 3-mal, bármilyen természetes szám is $m$.