Vegyes feladatok: VF_000019
(Feladat azonosítója: VF_000019 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Számítsuk ki $\left( {x+y+z} \right)^2$ értékét, ha $ 2x\left( {y+z} \right)=1+yz, \quad \frac{1}{x}-\frac{2}{y}=\frac{2}{3}$ és $x+y+\frac{1}{2}=0.$

A változók egyike sem lehet 0, így a törtek eltávolíthatók és a következő egyenletrendszert kapjuk:

$ 2xy+2xz-yz=1, $

$ 3xy=\frac{2}{3}, $

$ yz=-\frac{5}{3}. $

Innen

$ x^2=\frac{xy\cdot xz}{yz}=\frac{2}{5}, $

$ y^2=\frac{xy\cdot yz}{xz}=\frac{5}{2}, $

$ z^2=\frac{sy\cdot yz}{xy}=\frac{10}{9}. $

Ezeket felhasználva

$ \left( {x+y+z} \right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left( {xy+xz+yz} \right)=\frac{2}{5}+\frac{5}{2}+\frac{10}{9}+2\left( {-1+\frac{2}{3}-\frac{5}{3}} \right)=\frac{1}{90}. $

2. Megoldás

A harmadik egyenletből $x+y$ értékét behelyettesítve

$ \left( {x+y+z} \right)^2=\left( {z-\frac{1}{z}} \right)^2=z^2+\frac{1}{z^2-2,} $

Így elég $z^2$ értékét meghatároznunk. Az egyenleteknek az előző megoldásban szereplő alakját használva adjuk össze az első és utolsó egyenletet:

$ 2xy+3xz=0, \quad \quad y=-\frac{3}{2}z. $

Ezt a második egyenletbe helyettesítve $-\frac{9}{2}xz+2xy+\frac{3}{}z^2=0,$ innen $x=\frac{3}{5}z.$ A nyert értékeket az első egyenletbe helyettesítve

$ -\frac{9}{5}z^2+\frac{6}{5}z^2+\frac{3}{2}z^2=1,\quad \quad z^2=\frac{10}{9}, $

tehát

$ \left( {x+y+z} \right)^2=\frac{10}{9}+\frac{9}{10}-2=\frac{1}{90}. $