Hozzuk legegyszerűbb alakra az
$ \frac{\left( {x^2-y^2} \right)^3+\left( {y^2+z^2} \right)^3+\left( {z^2+x^2} \right)^3}{\left( {x-y} \right)^3+\left( {y-z} \right)^3+\left( {z-x} \right)^3} $
kifejezést.
Az $u^3+v^3=\left( {u+v} \right)\left( {u^2+uv+v^2} \right)$ azonosság alapján törtünk nevezője
$ \begin{array}{c} \;\;\;\left( {x-y} \right)^3+\left( {y-z} \right)^3+\left( {z-x} \right)^3= \\ =\left( {x-y+y-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)^2-\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)+\left( {y-z} \right)^2} \right]+\left( {z-x} \right)^3= \\ =\left( {x-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)\left( {x-y-y+z} \right)+\left( {y-z} \right)^2-\left( {z-x} \right)^2} \right]= \\ =\left( {x-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)\left( {x-2y+z} \right)+\left( {y-z+z-x} \right)\left( {y-z-z+x} \right)} \right]= \\ =\left( {x-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)\left( {x-2y+z} \right)-\left( {x-y} \right)\left( {y-2z+x} \right)} \right]= \\ =\left( {x-z} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-2y+z-y+2z-x} \right)= \\ =\left( {x-z} \right)\left( {x-y} \right)\left( {3z-3y} \right)= \\ =3\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right). \\ \end{array} $
Hasonlóképpen a számláló
$ \left( {x^2+y^2} \right)^3+\left( {y^2-z^2} \right)^3+\left( {z^2-x^2} \right)^3=3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {y^2-z^2} \right)\left( {z^2-x^2} \right) $
Az adott tört tehát
$ \frac{3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {y^2-z^2} \right)\left( {z^2-x^2} \right)}{3\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}=\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right). $
2. Megoldás
Tekintsük a nevezőt $x$ polinomjaként. A polinommá átalakítás tényleges elvégzése nélkül is könnyen látható, hogy másodfokú polinomot kapunk, mert az első és harmadik kifejezésből adódó $x^3$-os tagok összege 0-t ad. Ennek a polinomnak 0-helyei $x=y$ és $x=z$, ami behelyettesítéssel azonnal látható. Így a nevező gyöktényezős előállítása azonos az $\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)$ szorzatok és az $x^2$-es tag együtthatójának szorzatával. A első és harmadik kifejezésből $x^2$ együtthatója $-3y+3z=3\left( {z-y} \right)$, tehát a nevező azonos a
$ 3\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)\left( {z-y} \right) $
szorzattal. Ebből megkapjuk a számlálót, ha $x$, $y$, $z$ helyett $x^2$, $y^2$, $z^2$-et írunk, tehát a keresett tört:
$ \frac{3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {x^2-z^2} \right)\left( {z^2-y^2} \right)}{3\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)\left( {z-y} \right)}=\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right). $
3. Megoldás
A számláló és nevező olyan három szám köbének összege, amely három szám összege 0. Ha pedig $a+b+c=0$, akkor kimutatható, hogy
$ a^3+b^3+c^3=3abc $
Ugyanis, ha
$ a+b=-c $
akkor köbre emelve
$ a^3+3a^2b+3ab^2+b^2=-c^3 $
vagyis
$ a^3+b^3+c^3=-3ab\left( {a+b} \right)=-3ab\left( {-c} \right)=3abc. $
E segédtétel egyébként közvetlenül adódik a következő azonosságból is:
$ a^3+b^3+c^3-3abc=\left( {a+b+c} \right)\left( {a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca} \right) $
Ennek alapján kifejezésünk így írható:
$ \frac{3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {y^2-z^2} \right)\left( {z^2-x^2} \right)}{3\left( {x-z} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}=\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right). $