Az $n$ szám mely pozitív egész értékeire osztható és melyekre nem osztható $ 2^7-2$-vel az

kifejezés?

$ 2^7-2=126=2\cdot 3^2\cdot 7.$ Ha megmutatjuk, hogy egy kifejezés 2-vel $ 3^2$-nel és 7-tel osztható, akkor következik, hogy osztható a szorzatukkal is, mivel e számoknak nincsenek közös tényezői. $n^7-n$ mindig páros, mert vagy mindkét tag, vagy egy egyik sem páros. Hárommal osztva $n$ vagy 1-et, vagy 2-t ad maradékul, vagy osztható 3-mal. Ha $n$ osztható 3-mal, akkor $n^7-n=n\left( {n^6-1} \right)$ 3-nak csak azzal a hatványával osztható, mint maga az $n$, mert $n^6$ osztható 3-mal és így $n^6-1$ nem lehet 3-mal osztható. Ha tehát $n$ osztható 3-mal, de 9-cel nem, akkor $n^7-n$ nem osztható $ 2^7-2$-vel. 3-mal nem osztható szám 3-ik hatványáról 9-cel valós oszthatóság szempontjából is tudunk valamit mondani, ugyanis ha a szám 1-et ad maradékul 3-mal osztva, akkor ilyen alakú $ 3k+1$, ha pedig 2-t ad maradékul, akkor $ 3l+2$ alakban írható. Ezek köbe:

ahol $K$ és $L$ egész szám. Hogy ezt felhasználhassuk, a vizsgálandó kifejezést így alakíthatjuk át

Innen az előzők felhasználásával látjuk, hogy $ 3k+1$ alakú számokra az $n^3-1$ tényező, $ 3l+2$ alakúra viszont $n^3+1$ osztható 9-cel. Nézzük végül meg, hogy mikor osztható a kifejezés 7-tel. Ha $n$ osztható 7-tel, akkor az egész kifejezés is. Ha $n$ nem osztható 7-tel, akkor 7-tel osztva 7-nél kisebb maradékot ad, vagyis ilyen alakú $n=7r+s$, ahol $s=1,\;2,\;3,\;4,\;5$ vagy 6. Számítsuk ki ismét a szám harmadik hatványát

ahol $R$ ismét valamilyen egész szám. $s^3$ lehetséges értékei 1, 8, 27,64, 125, 216. Az első második és negyedik érték egy-egy 7-tel osztható szám után következik, tehát ha $s=1,\;2$ vagy 4, akkor $n^3-1$ osztható 7-tel. Ha viszont $s=3,\;5$ vagy 6, akkor $s^3$ eggyel kisebb egy 7-tel osztható számnál, tehát ez esetben $n^3+1$ osztható 7-tel. $n^7-n$ tehát minden egész $n$-re osztható 7-tel. Ezzel láttuk, hogy $ 2^7-2$ minden egész $n$-re osztója az $n^7-n$ értéknek, kivéve, ha $n$ osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel.

2. Megoldás

Sok oszthatósági tulajdonságot tudunk leolvasni, ha szomszédos egész számok szorzatáról van szó. Kíséreljük meg ilyen alakra hozni a vizsgálandó kifejezést.

A két másodfokú kifejezés már nem bontható hasonló tényezők szorzatára, de nem sokkal különbözik a már talált tényezőkkel szomszédos számok: $n-3$, $n-2$, $n+2$, $n+3$ közül alkalmasan kiválaszthatók szorzatától:

Így

Az utolsó tényezőt polinommá alakítva így írható:

Itt most már az első tag hét egymásutáni szám szorzata. Ha $n$ egész szám, ezek közt legalább három egymásutáni páros szám van (ezek közül pedig legalább egy 4-gyel is osztható). A szorzat tehát páros (2-nek legalább is negyedik hatványával osztható). A hét tényező közül legalább két 3-mal osztható és pontosan egy 7-tel osztható kell hogy legyen. A szorzat tehát osztható $ 2\cdot 3^2\cdot 7$-tel. (Bizonyosan van a hét tényező közt 5-tel osztható is, s így ez a szorzat mindig osztható $ 2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7$-tel is.) A második tagban hasonlóan látható, hogy a három egymás utáni szám szorzata mindig osztható 6-tal, s így a szögletes zárójel előtti kifejezés mindig osztható $ 2\cdot 3\cdot 7$-tel. Azt kell tehát csak megnézni, hogy a $ 2\left( {n-1} \right)\left( {n+1} \right)-3$ kifejezés milyen $n$-re osztható 3-mal. Ha $n$ osztható 3-mal, akkor ez a kifejezés nem osztható 3-mal. Ha $n$ nem osztható 3-mal, akkor nyilván az első tag valamelyik tényezője osztható 3-mal, s így az egész kifejezés is. Az $n^7-n$ kifejezés tehát mindig osztható $ 2^7-2$-vel, csak akkor nem, ha $n$ osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel.