Hozzuk lehető legegyszerűbb alakra az $\frac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)}+\frac{1}{\left( {y-x} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)}+\frac{1}{\left( {z-x} \right)\left( {z-y} \right)\left( {z-1} \right)}$ (D) kifejezést.
Vonjuk össze először az első két törtet:
$ \frac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)}+\frac{1}{\left( {y-x} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)}= $
$ =\frac{-\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {z-x} \right)}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}= $
$ =\frac{x^2-y^2-z\left( {x-y} \right)-x+y}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}= $
$ =\frac{x+y-z-1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)} $
Adjuk ehhez hozzá a harmadik törtet:
$ \frac{x+y-z-1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}+\frac{1}{\left( {z-x} \right)\left( {z-y} \right)\left( {z-1} \right)}= $
$ =\frac{\left( {z-1} \right)\left( {x+y-z-1} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)} $
A számlálót így alakíthatjuk át:
$ z\left( {x+y} \right)-\left( {x+y} \right)-z^2+1-\left( {xy-x-y+1} \right)= $
$ =-xy+xz+yz-z^2=x\left( {y-z} \right)+z\left( {y-z} \right)=\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right) $
E két tényező szerepel a nevezőben is s így lehet velük egyszerűsíteni. A kifejezés legegyszerűbb alakja tehát
$ \frac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)}. $
2. Megoldás
Vonjuk össze mindhárom törtet. Az
$ \frac{-\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)\left( {y-z} \right)-\left( {z-1} \right)\left( {x-1} \right)\left( {z-x} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {x-y} \right)}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)} $
kifejezést kapjuk. Miután a nevező elsőfokú kifejezések szorzata, egyszerűsíteni csak úgy lehet, ha a tényezők valamelyikével osztható a számláló is. Ha a számláló osztható valamelyik tényezővel, akkor olyan helyettesítésre, melyre a kérdéses tényező 0 lesz, 0 kell legyen a számláló is. Könnyű látni, hogy ha $x$, $y$, vagy $z$ helyett 1-et teszünk, akkor a számláló nem 0. Ha ellenben $x$ helyébe $y$-t, vagy $z$-t helyettesítünk, akkor mindkét esetben 0 lesz a számláló is. Tekintsük most a számlálót úgy, mint $x$-nek polinomját, melyben $y$ és $z$ határozott mennyiségek. Ekkor$ x$-nek másodfokú polinomja a számláló, melynek két nulla helye $x=y$ és $x=z$. Tudjuk, hogy egy másodfokú polinom mindig gyöktényezős szorzatként írható. Ezek szorzatát meg kell még szorozni $x^2$ együtthatójával. $x^{^2}$-es tagot a számláló második és harmadik tagjából kapunk, $z-1$ és $-\left( {y-1} \right)$ együtthatójával, tehát $x^2$ együtthatója $z-y$. A számláló tehát így alakítható szorzattá:
$ \left( {z-y} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)=\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {y-x.} \right) $
Ez megegyezik a nevező második három tényezőjével. Így az egész számlálóval lehet egyszerűsíteni és a kifejezés ilyen alakban írható:
$ \frac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)}. $